第135章 原来到达山顶的路是这样的（1/2）

他换了个思路。

在辛几何中，拉格朗日子流形之间的几何关係可以用它们的相交理论来描述。

对於两个拉格朗日子流形l1和l2，它们的相交数是一个重要的不变量。

如果l1和l2是某个辛同胚的像，那么这个相交数就反映了这个辛同胚的性质。

在x中，l_p和l_{p+2}是两条零维子流形，即点。

它们不相交，除非p=p+2，这不可能。

所以相交数为0。

这没有信息。

也许需要考虑更高维的拉格朗日子流形。

肖宿想到，可以构造一个一维拉格朗日子流形，它连接所有孪生素数对。

比如，考虑所有满足x和x+2都是素数的实数x的集合，这是一些孤立点，无法连成连续曲线。

还是不行。

肖宿再次站起身，在房间里踱步。

也许问题不在於单个素数对，而在於素数对的分布模式。

就像统计物理中，我们关心的不是单个粒子的位置，而是粒子的关联函数。

他想起陶哲轩报告中提到的“关联函数”概念。

对於素数分布，可以定义两点关联函数r(k) = lim (1/n) Σ x_p(n)x_p(n+k)，其中x_p是素数的特徵函数。

哈代—李特尔伍德猜想给出了r(2)的渐近形式：r(2) ~ c·n/(log n)^2，其中c≈1.32是孪生素数常数。

这个常数c是怎么来的？

它是n_{p＞2} (1 1/(p—1)^2)。这个乘积收敛到1.32...。

肖宿盯著这个乘积，突然意识到什么。

这个形式，和顾—辛框架中加权度量的正规化项很像！

他的笔快速动了起来：

c = n_{p＞2} (1 1/(p—1)^2) = exp[ Σ_{p＞2} log(1 1/(p—1)^2) ]

而log(1 1/(p—1)^2) ~ —1/p^2 当p很大时，所以这个级数收敛。

如果把加权度量中的权重w(p)取为log(1 1/(p—1)^2)，那么正规化后的距离d?就会与c有关。

肖宿开始重新定义。

设w(p) = —log(1 1/(p—1)^2) 对於p＞2，对於p=2需要单独处理。

这个权重是正的，因为1 1/(p—1)^2 ＜ 1，所以log为负，加负號后为正。

当p很大时，w(p) ~ 1/p^2，所以Σ w(p)收敛。

非常好！

这样定义加权度量时，不再需要正规化，因为级数本身就收敛。

接著再定义 (顾—辛关联度量)：对於两个整数m和n，定义它们的关联距离为p(m,n) = Σ_{p?(m—n)} w(p) + δ_{2|(m—n)} · w(2)，其中w(p) = —log(1 1/(p—1)^2) 对於p＞2，w(2)由单独公式定义。

对於孪生素数对(m,n) = (p, p+2)，m—n=2，所以p=2整除m—n。

因此：p(p, p+2) = w(2) + Σ_{p＞2, p?2} w(p) = w(2) + Σ_{p＞2} w(p)

因为对於p＞2，2不被p整除，所以所有p＞2都计入。

而Σ_{p＞2} w(p) = Σ_{p＞2} log(1 1/(p—1)^2) = —log c

所以p(p, p+2) = w(2) log c

只要適当定义w(2)使得p(p, p+2) = 某个常数，比如1，就可以得到w(2) = 1 + log c。

完美！

肖宿的思考越来越快，难以抑制的嘴角上扬。

他知道自己离成功越来越近了。

这个定义的美妙之处在於：对於孪生素数对，关联距离p是常数；对於非孪生素数对，p会不同。

而且这个p的构造直接来源於哈代—李特尔伍德的常数c，那个被数值验证了无数次的常数。

所以，孪生素数对就是那些使得p(p, p+2)取特定值的素数对。

现在，问题转化为：在顾—辛特徵空间x中，考虑所有素数点构成的集合p。

在这个集合上，有一个由p诱导的“关联结构”。

如果能够证明，这个关联结构具有某种刚性，即如果存在有限个使得p取特定值的点对，那么就必须存在无穷多个，那么孪生素数猜想就得证了。