第134章 迷宫（1/2）

他的手动的飞快，空白的草稿纸被逐渐填满。

定义3 (孪生条件)：两个整数m和n是孪生素数对，若且唯若：

1. φ(m)和φ(n)都是x中的“算术奇点”，即对应素数的像；

2. d(φ(m), φ(n)) = 2；

其中2是所有p进分量差异的加权和。

如果m和n是孪生素数对，比如3和5，那么对於大多数素数p，|3—5|_p = | —2 |_p。

对於p≠2，|—2|_p = 1，因为—2不被p整除。

对於p=2，| —2 |_2 = 1/2，因为2整除—2一次。

所以d(φ(3), φ(5)) = Σ w(p) · 1 (对p≠2) + w(2) · (1/2)。

因为Σ w(p)发散，所以这个和发散。

所以3和5在加权度量下的距离是无穷大？

肖宿皱起眉头。

不对，这样定义有问题。

他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同整数的距离都是无穷大，因为对无穷多个p，|m—n|_p = 1。

加权和自然发散。

需要修改。

也许不是所有p都计入？

也许只有那些对“区分”m和n有贡献的p才计入？

肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。

定义2在实际计算中，应该只考虑那些|m—n|_p ≠ 0的p，即p不整除m—n。

对於这些p，|m—n|_p = 1。

所以d(φ(m), φ(n))正比於这些p的权重和。

当m—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。

减去发散项，留下有限部分。

肖宿自己曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对於素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。

在这里也可以用同样的方法。

定义2 (正规化加权度量)：定义正规化距离d?(φ(m), φ(n)) = lim_{x→∞} [ Σ_{p≤x, p?(m—n)} w(p) Σ_{p≤x} w(p)/p ]

这个定义的精妙之处在於，第一项求和是对所有不整除(m—n)的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。

当x→∞时，两个发散项抵消，留下一个有限值。

肖宿开始估算这个值。

对於固定的差值k=m—n，不整除k的素数占比大约是n_{p|k} (1—1/p)。

所以第一项约等於(n_{p|k} (1—1/p)) · Σ_{p≤x} w(p)。

第二项是Σ_{p≤x} w(p)/p。

两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。

当k=2时，只有p=2整除k。

所以n_{p|k} (1—1/p) = 1—1/2 = 1/2。

因此：d?(φ(m), φ(n)) = lim [ (1/2)·Σ_{p≤x} w(p) Σ_{p≤x} w(p)/p ] + 有限修正= lim Σ_{p≤x} w(p)·(1/2 1/p) + 有限修正

当p很大时，(1/2 1/p)趋近於1/2，所以这个级数发散，除非w(p)衰减得足够快。

w(p) = (p—1)/p · log p ~ log p。

乘以(1/2 1/p)后，仍然~ (1/2) log p，求和发散。

又卡住了。

肖宿揉了揉紧绷的太阳穴。

也许w(p)需要重新设计。

也许应该让w(p)衰减得快一些，比如w(p) = log p / p？

但这样在之前的有理点估计中就不够用了。

他陷入了沉思。

窗外传来远处的汽车声，很轻，像是从另一个世界飘来的。

等等。

肖宿突然想到一种可能性。

也许根本不需要d?(φ(m), φ(n)) = 2这个条件。

也许孪生素数的本质特徵在於，φ(m)和φ(n)在x中形成某种特殊的“双子结构”，一种在辛几何意义下的配对。

他想起自己在顾—辛框架中定义的“孪生结构”，那原本是用来描述辛流形上两个互为对偶的子流形的。

如果把这个概念移植过来...