第84章 p进数（求追读求月票）（1/2）

发现被叫上黑板的人不是自己，班杰明稍稍有些遗憾。

这道题他其实已经有了思路。

不过他很快转头看向讲台上的李傲，他也想看看，李傲会怎么处理这道题。

座位上，麦可往凯文那边倾了倾身子，瞥了一眼对方草稿纸上写了一半的推导过程，压低声音问：“怎么样，你有思路了没？”

“有了一点，还在推。”凯文摇摇头，视线转向讲台，“不过以李傲的数论水平，这题应该难不住他。”

黑板前，李傲拿著粉笔，从头扫了一遍题目条件。

几秒钟的功夫，几种解法已经在脑海里过了个大概。

他没在意背后的窃窃私语，直接抬手落笔。

“先令 u=a^(p-1)。题设等价於 u=1+p^2c。在 p进数中取对数，可得 v_p(log u)≥2……”

粉笔在黑板上敲出轻响。他直接越过了繁杂的同余展开，写下结论：

“因此，u^(p^(n-1))-1至少含有因子 p^(n+1)。也就是说，a^(p^(n-1)(p-1))≡1 mod p^(n+1)。”

“如果把指数中的 p^(n-1)缩小，並取 c不能被 p整除的情况，赋值会下降一阶，结论就不再成立。”

这就是数论中的 p进数理论——直接用高等数学的標准工具来降维处理竞赛题。

写完最后一行，李傲转过身：

“写完了。”

教室里安静了片刻。

除了卡尔森教授，底下的几个队员基本只看懂了前半段的同余条件，到了 p进对数那几行，就看不明白了。

班杰明盯著黑板上的推导，眉头微微皱起。

虽然看不太懂，但凭他的数学直觉，也知道这个思路绕开了大段繁琐的同余展开，比他自己想到的方法简练得多。

“这是什么方法……居然绕开了繁琐的同余展开，比我的做法省了太多步骤。”

他正琢磨著，讲台旁的卡尔森教授开了口。

卡尔森其实有些意外。

他原以为这道题能难住李傲，藉机敲打一下这个上课走神的学员，没料到对方不仅证得轻鬆，用的还是 p进数理论。

毕竟怎么看，这都不像是一个高中竞赛生该掌握的知识。

“这孩子以前系统学过代数数论？”卡尔森暗自思忖。

他轻咳了两声掩饰意外，隨即收起隨意的神色，向眾人强调起 imo解题工具的边界：

“leo，你这套证明逻辑上確实没问题。但是，用p进数理论解题不符合 imo的规范。在正赛里，像 p进数、群论这种超纲的高数工具是被禁用的。如果你在考场上这么写，一分也拿不到。”

对於接触过高等数学的学生来说，遇到难题的第一反应往往是直接调用合理的工具，而不是去思考技巧。

就像中学生做小学奥数题，总会下意识地列方程一样。

但 imo毕竟不是大学期末考试，参赛者必须用初等数学的方法把问题讲透。

李傲听罢，停下正要走下讲台的脚步，点点头：“这样啊。”

说完，他没怎么迟疑，当即转过身，在黑板的另一侧写起初等解法。

“设 a^(p-1)=1+p^2t。那么 a^(p^(n-1)(p-1))就等於(1+p^2t)^(p^(n-1))……”

粉笔字写得飞快。

作二项展开后，常数项之后的第一项正好是 1+p^(n+1)t，后面的各项都含有更高次的 p，因此模 p^(n+1)仍然余 1。

同理，如果指数里少一个 p，且 t本身不能被 p整除，那么第一个非平凡项只能到 p^n，结论就未必成立。

这套初等解法写下来，耗时比刚才也长不了多少。

卡尔森教授迅速检查了一遍。

確认没有任何漏洞后，他愣了一下。

他完全没想到，李傲不仅会用代数数论的方法，换回初等方法后依旧写得这么干净利落。

能在短时间內用两种截然不同的思路解同一道题，说明这学生对数论的理解非常扎实。