第138章 不见山巔（1/2）

“首先，我们需要一个空间。传统的数论研究是在整数轴上进行的，但整数轴太简单，承载不了素数的全部结构。我们需要一个高维空间，能同时编码素数的乘性信息和加性信息。”

他点开下一张ppt，上面是一个示意图：一个巨大的圆环，上面標记著无数个小点。

“这个空间叫做顾—辛特徵空间，记作x。它的构造灵感来自阿德尔环，但经过了辛几何的改造。”

然后，肖宿开始解释x的构造方法。

如何把每个素数p对应的p进数域组合起来，如何定义嵌入映射φ，如何赋予拓扑结构。

“接下来是关键的一步，”肖宿说，“我们需要在这个空间上定义一个度量，使得孪生素数对在这个度量下距离相等。”

他点开下一张ppt，上面是一个公式：

关联距离p(m,n) = 对每个不整除(m—n)的素数p求和w(p) + 如果2整除(m—n)则加上w(2)

其中权重w(p) = —log(1 1/(p—1)2) 对於p＞2

“这个权重的选择不是隨意的。哈代—李特尔伍德第二猜想给出了孪生素数对的渐近公式，其中的常数c就是n_{p＞2}(1—1/(p—1)2)。而我们这个权重的和，恰好等於 —log c。”

台下，陶哲轩眼睛一亮。

他明白了，肖宿把这个常数嵌进了度量里，让孪生素数对在这个度量下自动取相同的值。

“所以，”肖宿继续说，“对於孪生素数对(p, p+2)，它们的关联距离p是常数。对於非孪生素数对，p会不同。”

他顿了顿，看向台下：“也就是说，孪生素数对就是那些在x中距离为常数的特殊点对。”

这句话说得很轻，但在台下引起了不小的骚动。

“他把问题转化成了几何问题，”舒尔茨低声对旁边的法尔廷斯说，“在x中寻找距离相等的点对。”

法尔廷斯点点头，没说话，但眼神很专注。

肖宿开始引入辛结构，如何在x上定义一个辛形式Ω，如何证明平移变换是辛同胚，如何构造对合变换。

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然后他讲到了那个核心概念，也就是旋转守恆量。

“在顾—辛理论中，任何辛流形都有一个旋转守恆量，类似於物理中的角动量。对於x来说，这个守恆量可以通过配分函数来计算。”

他点开一张ppt，上面是一个简单的文字描述：

配分函数z(n) = 对所有不超过n的素数p求和 e^{—p(p, p+2)}

旋转守恆量q = lim_{n→∞} (log z(n) log n)

“计算这个极限，需要用到素数定理和一些解析数论的工具，”肖宿说，“但最终的结果很简单：q = log c，其中c就是孪生素数常数，约等於1.32。”

台下，塞尔点了点头。

这个推导他刚才在德利涅给的笔记里已经看过，每一步都站得住脚。

“如果只有有限个孪生素数对，那么当n足够大时，z(n)中不再有新项加入，求和趋於常数。於是log z(n)趋於常数，而log n趋於无穷，所以q = —∞。”

“但另一方面，我们从素数分布的全局性质算出q = log c，这是一个有限的正数。”

“矛盾。”

“因此，假设不成立。孪生素数对必须有无穷多。”

肖宿讲完了，按流程到了提问环节。

但是三百人的报告厅里鸦雀无声。

没有人举手提问。

不是不想问，而是太多的问题涌上心头，反而不知道该从何问起。