第9章 通往大学的高速公路（1/2）

徐辰也没有多问，平静地拉过一张椅子，在陈嘉平的办公桌对面坐下，拧开笔帽，开始思考。

第一题：【求所有的素数p和正整数n，使得 n2+ p - 1整除 n3+ p3。】

典型的整除与不定方程结合。常规思路是利用同余性质，模p或者模n进行试探，又或者试图通过假设p的奇偶性来分类討论。

但这两种方法犹如盲人摸象，不仅计算量庞大，而且极易陷入死胡同。

徐辰的笔尖在草稿纸上悬停了半秒，大脑已经开始了高速运转。

问题的核心，在於左边的二次式 n2 和右边的三次式 n3 阶数不匹配，且 n 与 p 纠缠不清。想要建立整除关係，必须想办法“降次”並“剥离变量”。

徐辰思考著：直接做多项式除法吗？会產生分式，不够优雅。那就……主动构造一个中间项，把 n3 强行消掉！

这个念头如同一道闪电，数学天赋带给他超强的解题直觉！

他落笔了。

陈嘉平在一旁屏息凝神，他看到徐辰没有像普通竞赛生那样去穷举 p = 2, 3, 5，而是直接在草稿纸上写下了一行让他瞳孔骤缩的算式：

n(n2 + p - 1) = n3 + np - n

陈嘉平眉头紧锁，构造这个有什么用？

紧接著，徐辰写下了堪称“神之一手”的变形！

(n3 + p3) - n(n2 + p - 1) = p3 - n(p - 1)

看到这一步，陈嘉平的呼吸瞬间停滯了！

他明白了！他彻底明白了！

因为 n2 + p - 1 整除 n3 + p3，而它显然也整除 n 倍的自己。两式相减，原先复杂的整除关係，瞬间坍缩成了：

n2 + p - 1 │ p3 - n(p - 1)

这一刀，直接切断了 n 的高次项干扰，將一个混沌的三次方程，降维打击成了一个关於 p 的约束分析！

一个cmo级別的难题，被这匪夷所思的一步，直接简化成了纯粹的代数討论！

徐辰的手速没有丝毫减慢。

“若右边为0，则 p3 = n(p - 1)。因 p 为质数，gcd(p, p - 1) = 1，故 p - 1 = 1，得 p = 2, n = 8。”

“若右边不为0，利用绝对值不等式放缩……”

草稿纸上沙沙作响，另外两组解 (3, 1) 和 (3, 4) 如同瓮中之鱉，被精准地抓了出来。

徐辰从落笔到写完三组答案，全程不到三分钟。他没有用任何晦涩的数论定理，仅仅用了一步极其精准的代数构造，就將这道国家集训队难度的“拦路虎”斩於马下！

陈嘉平感觉自己的后背已经渗出了冷汗。

徐辰的天赋比他想像的还要夸张！

……

第二题：【设 a， b， c为正实数，求(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)的最小值。】

一道看似人畜无害，实则暗藏杀机的不等式题。

此刻徐辰的內心：哦？这个有意思了。出题人在这里挖了一个巨大的陷阱，专门坑那些只会死记硬背公式的学生。

这个陷阱就是，很多学生会想当然地分別使用均值不等式： a+b+c≥ 3?(abc) 1/a + 1/b + 1/c≥ 3?(1/abc)然后將两式相乘，得到原式≥ 9。

看似没错，但乘法是有风险的。这种做法的漏洞在於，它默认了两个不等式可以同时取等。虽然这道题恰好可以，但这种解法在逻辑上是不严谨的。

徐辰想的没错，实际上这种做法在竞赛中会被扣分甚至判零分。

徐辰当然不屑於走这种钢丝。

他同样也懒得用竞赛生必备的“柯西-施瓦茨不等式”，那就像用一把精密的钥匙开锁，虽然高效，但不够“暴力”，不够“美”。

他选择了最原始，也最能体现问题本质的方法——展开！

大道至简，返璞归真！

他直接將原式展开：

原式= 1 + a/b + a/c + b/a + 1 + b/c + c/a + c/b + 1

= 3 +(a/b + b/a)+(a/c + c/a)+(b/c + c/b)

看到这一步，陈嘉平的眼睛都直了！他本以为这是最笨拙的“土办法”，但接下来的一幕，让他彻底顛覆了认知。

只见徐辰在括號下轻轻標註：根据基本不等式 x + 1/x≥ 2 (当x＞0)

所以：

a/b + b/a≥ 2

a/c + c/a≥ 2

b/c + c/b≥ 2