第4章 老师，这道题我有点不懂（1/2）

办公室里静得可怕。

落针可闻。

只有白板笔划过光滑板面时发出的“吱吱”声，像是一条细微的电流，精准地击打在每个人的神经末梢上，让他们的汗毛都忍不住微微颤慄。

徐辰转过身，神情专注。

他没有立刻开口，而是先用一种清秀而有力的字体，在白板上写下了一行优雅得令人窒息的数学敘述：

?∈[，]，?＞0，?() s.t.||?||∞＜

“我们先来看看斯通-魏尔斯特拉斯定理的核心，”徐辰的声音打破了沉默，平静而沉稳。“这行符號的本质，其实是在描述一种……逼近的极限能力。”

他用笔尖轻轻敲了敲那个代表“任意”的符號?和代表“存在”的符號?。

“它是在说，对於任何一个在闭区间上连续的函数——无论这个函数的图像多么奇诡、多么崎嶇，像心电图一样上躥下跳——只要你给我一个误差范围，哪怕这个误差比原子核还要小，我也总能找到一个由的冪次构成的多项式函数，让它与原函数的『最大偏离度』，小於你给定的这个误差。”

“要证明这个结论，歷史上有很多种方法，”徐辰信手拈来，仿佛在讲述一段家喻户晓的歷史，“魏尔斯特拉斯本人最初的证明，用到了一些精巧的卷积思想。但后来，俄国数学家谢尔盖·伯恩斯坦提出了一种更具构造性的方法，也就是大名鼎鼎的……”

话音刚落，又一串更具视觉衝击力的公式，如同咒语般出现在白板上：

?(;)=∑????(?/?)(??)?(1?)???

“这个表达式看起来复杂，”徐辰似乎察觉到了气氛的凝滯，他微微一笑，试图化解这种无形的压力，“但它的內在逻辑，其实来源於一个完全不同的领域——概率论。”

“大家请看后面这一部分，”他指著(??)?(1?)???，说道：“这是典型的二项分布。我们可以把它想像成一个游戏：重复拋一枚不均匀的硬幣次，每次正面朝上的概率是。那么，在全部次拋掷中，恰好有次正面朝上的概率，就是这个式子。”

“而前面的(?/?)，可以理解为我们在区间[0， 1]上设置了+1个观察点，去测量原函数在这些点上的『高度』。”

徐辰的语速不快，確保每个字都能被听清。

然而，办公室里的气氛，却渐渐变得诡异起来。

徐辰：【我怎么感觉……他们好像没听懂？】

……

徐辰看到几位老师的表情，活像是课堂上被老师点名回答问题，却一个字都听不懂的差生。

有的假装专注地盯著徐辰比划的手势，实际上眼神早已涣散，大脑一片空白；有的则悄悄把身子往后缩，试图用前面同事宽阔的后背挡住自己心虚的脸；更有甚者，乾脆低头疯狂地翻著桌上的试卷，仿佛下一秒就要批改出个诺贝尔奖来。

“这……这孩子脑子转的这么快的吗？”一位年长的数学老师小声嘀咕，活像个上课开小差被抓包的学生，“我……我怎么感觉快跟不上他了？”

“嘘！小声点！”另一位老师赶紧用胳膊肘捅了捅他，一边紧张地瞄著徐辰的方向，压低声音道，“万一他突然回头问咱们『听懂了吗』怎么办？我大学学这些的时候都没听得这么明白，这些年天天教高中数学，早就还给教授了！”

“完了完了，他朝这边看过来了！”又一位老师慌忙低下头，拿起笔假装在备课本上奋笔疾书，写下了一些自己也看不懂的鬼画符。

教导主任王德发的处境最为尷尬。

他的后背已经完全靠在了椅背上，双手交握放在腹部，这是一个典型的防御性姿態。他本想考考徐辰，彰显一下自己的学术权威，没想到现在自己倒成了考场上瑟瑟发抖的学生。

这些理论他当年在研究生阶段確实学过，但毕业这么多年，早就连同逝去的青春一起，模糊在了记忆的角落里。

现在，他只能不停地点头，时不时从喉咙里挤出一声“嗯”、“对”，用战术性的肯定来掩饰战略性的迷茫，生怕被人发现自己其实已经听得云里雾里了。

徐辰却没有停下来的意思，他的思维已经进入了一个高速运转的兴奋状態。

“当然，多项式逼近只是其中一种。我们完全可以用三角函数来做同样的事情，这就是傅立叶分析的核心。任何满足狄利克雷条件的周期函数，都可以展开成一堆正弦和余弦波的叠加……”

他讲得酣畅淋漓，完全沉浸在了数学的世界里。

“关於这个定理，我后来又想了一下，”徐辰顿了一下，拋出了一个更深层次的理解，“其实它还可以和线性代数里的空间概念联繫起来。”

“我们可以把所有定义在[a， b]上的连续函数，看作是一个无限维的向量空间，而所有多项式函数，则构成了一个子空间。那么，斯通-魏尔斯特拉斯定理其实是在说，这个多项式子空间在连续函数空间中是稠密的。”

“这样理解的话，这个定理就有了更深刻的几何意义。”徐辰总结道，“它告诉我们，多项式函数虽然看起来很简单，但它们却构成了一个非常『庞大』的集合，足以『填满』整个连续函数空间。”